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By David Hilbert (auth.)

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Yi u- Ylll'' u = 0. "> x•-• - • • • - oc<1•l = 0 .. 2 I ··-1 x(l> 1 2 o x, x~1 > (27) hinzu, wahrend fiir die Un- §2 53 Die Bestimmung des Systems der irrationalen Kovarianten rp. bekannte p<"> die Relation (v) 1 x xv- 1 - oc, IX~~l' ••• , IX~>, u, uO>, p

H. verschwindende Derivanten aufstellen wie fiir die Kugelfunktionen seiher. Als Beispiele mogen die heiden folgenden Faile dienen : I. m=3, i=2. F = (n'- 2) cp0 P 3 (2 n'- p- 5)cp1 P 2 + (n'- 2p- 4)ff2 P 1 - +(p+l)ffsPo=O. II. m = 3, F i = l. = (n'- i)(n'- 2) cp0 P 3 - (n'- 2p- 6)(n'- 1)tp1 P 2 - (2n'- p- 3)(p + 2)tp2 P 1 - (p + l)(p + 2) cp3 P 0 = 0, worin p die Ordnung, n' den Grad der Polaren P bedeutet, also P0 = IP und n' = n - p . Im ersten Faile ist die Derivante F vom Range v = 1 ; im zweiten vom Range v = 2.

P)_ + 1 t. l') J , (37 ) womit zunachst die auch unmittelbar aus (32) ersichtliche Tatsache einleuchtet, daB die Kovariante e die quadratische Form n als Faktor enthalten muB. Nehmen wir demnach x- rx1 und x - oc 2 als die heiden linearen Faktoren von n an, so liefert die Identifizierung der Potenzexponenten auf heiden Seiten der Gleichung (37) die folgenden Relationen Ll~(~~~} = ~ II (rx1 } _ Ll@ (rx2 ) - II(rxa) Ll@ (rx3) II(rx4 ) Ll@ (rx4 ) = - 1• 1 ' 2 _ 1 _ ..... _ _ - - 1 ' I J (38) ' 1' a us denen durch Multiplikation fiir beliebige Werte von z die Identitat } = ( z-t-1 )''-2(z +l - -p.

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