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By Wilhelm Specht (auth.), Dr. M. Deuring, Dr. G. Köthe (eds.)

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Vgl. auch Proceedings Akad. Wet. Amsterdam 51, 1146-1154 (1948). 135) W. Specht, Math. Nachr. 4, 126-149 (1950). 20. R in W. Es besteht die Gleichung N(W) = j w v(~)dC. L. Finzel1 36 ) hat diese Untersuchungen auf das reelle Gebiet übertragen. Weiterhin muß noch auf Untersuchungen hingewiesen werden, die die Koeffizienten eines reellen Polynoms als Zufallsvariablen deuten und unter gewissen Verteilungsannahmen den Erwartungswert für die Anzahl der reellen Nullstellen (in Abhängigkeit vom Grade n) asymptotisch bestimmen 137 ).

Das Halbebenenproblem A1 A3 A 5 1 A2 A4 LI V = B4 ··· -B2v-2 BI - Ba ··· -B2v-a A2v-t A2v-2 - B2 - 0 0 0 0 0 B2 B4 BI Ba Av 0 B2v-2 At B2v-3 1 Aa A2 -Bv-1 A2v-3 A2v-4 0 0 Bv 0 Av-l 0 0 0 (1 < v < n). Sind sämtliche Werte Llv von Null verschieden, so ist die Anzahl N+ der Nullstellen von f(z) in der rechten Halbebene 9lz > 0 die Vorzeichenwechselzahl N+ = V(l, Llv Ll 2 , ••• , Lln)127 ) 3. 51 = A1 und At 1 bv = 0 0 0 + ... +An Aa As A2 A4 At Aa 1 A2 A2v-t A2v-2 A2v-a A 2v-4 0 0 Av (1 < v < n) , so wird im Falle bv =l= 0 (für 1 < v < n) die Anzahl N+ der Nullstellen von f(z) in der Halbebene 9lz > 0 dargestellt durch N+ = V(l, b1, ba, ...

Hurwitz 112 ) hat dieser Formenmethode von 0. Hermite eine allgemeinere Gestalt gegeben; wir beschränken uns auf den besonders wichtigen Fall zweier reeller Polynome f(z) = L:avzv; g(z) = Lbvzv des Grades n. xuy). =O u führt auf die quadratische Form 111) Journal de Math. 12, 50-67 (1847). 112) Math. Ann. 46, 273-284 ( 1895). 42, 8 Algebraische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten die Bezoutiante der beiden Polynome l(z), g(z), deren Determinante det lEx;. I die Resultante R(f, g) der Polynome ist.

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