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By Aldo Andreotti, Wilhelm Stoll

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Sei ψ(d) die Anzahl der Elemente der Ordnung d in G. Dann gilt ψ(d) = 0, falls es in G keine Untergruppe der Ordnung d gibt, und ψ(d) = ϕ(d), falls es genau ein U ≤ G gibt mit |U | = d < |G|. 15 a) folgt ψ(d) ≤ n= d, d|n ϕ(d) + ψ(n) = n − ϕ(n) + ψ(n). d

C) Beispiele von Ringen mit nichtkommutativer Multiplikation werden wir in Kapitel 3 bei der Behandlung von Matrizen und linearen Abbildungen sehen. 9 b)). Erw¨ahnung verdient der folgende Satz von Wedderburn6 : Ist R ein endlicher Schiefk¨ orper, so ist die Multiplikation in R kommutativ, also R ein K¨orper. Es gibt mehrere Beweise dieses Satzes; ein sch¨oner und elementarer stammt von E. Witt7 (siehe [2], S. 27-31). Wir f¨ uhren nun den Ring Zn der ganzen rationalen Zahlen modulo n ein. Dieser spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie.

Dies liefert r = 1, cos nα = 1 und sin nα = 0. Wegen 0 ≤ α < 2π erhalten 2π 2π k wir α = 2π n k mit 0 ≤ k < n. Setzen wir ε = cos n + i sin n , so folgt a = ε . n−1 }= ε . Also ist Cn = {1, ε, . . , ε nk n−1 −1 k = 0. Die Zerlegung c) F¨ ur 0 < k < n ist ε = 1 und daher j=0 εjk = εεk −1 in Real- und Imagin¨ arteil liefert f¨ ur k = 1 die restliche Aussage. F¨ ur einen beliebigen K¨ orper K sei wieder Kn die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln. Wir werden sp¨ ater zeigen, daß Kn stets eine zyklische Gruppe ist, deren Ordnung n teilt.

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